Analisi matematica

Come ha avuto origine l’analisi?

Tra i fondatori dell’analisi, spiccano due matematici, Sir Isaac Newton e Gottfried Leibniz, i quali, indipendentemente l'uno dall'altro, hanno concepito le idee alla base dell’analisi. Sebbene Sir Isaac Newton abbia iniziato prima i suoi studi, oggi utilizziamo principalmente la notazione di Gottfried Leibniz.

Per avere un’idea di cosa possa aver spinto i matematici a risolvere problemi di analisi, pensiamo a un quesito apparentemente semplice: trovare l'area di un cerchio. Ora, conosciamo la formula dell'area di un cerchio:

$$A=\pi r^2$$

Ma perché è così? Quale susseguirsi di passi logici porta a questa conclusione? Supponiamo di non conoscere questa formula e di voler trovare l'area di un cerchio. Che fare? Per cominciare, proviamo a scomporre il cerchio in forme le cui aree sono più semplici da calcolare.

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Piuttosto che cercare di usare forme che si avvicinano sempre più al cerchio, proviamo un'idea diversa: dividere il cerchio in circonferenze concentriche.

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Bene, ma ora che si fa? Beh, prendiamo una di queste corone circolari, che avrà uno spessore più piccolo del cerchio originale che chiameremo $r$. Nel nostro esempio, $r$ sarà compreso tra 0 e 5.

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Poi raddrizziamo questa corona circolare.

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Con questa circonferenza circoscritta 'raddrizzata', ora abbiamo una forma la cui area è più facile da trovare. Ma quale forma ha un'area ancora più facile da trovare? Un rettangolo. Per semplicità, possiamo approssimare la forma 'raddrizzata' come un rettangolo.

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Questo rettangolo ha una base pari alla circonferenza della corona circolare, o $2\pi \cdot r$, e un'altezza pari allo spessore della corona circolare scelta in precedenza. Ridefiniamo $r$ con $dr$ così da rappresentare una piccola differenza tra lo spessore di una corona circolare a quella successiva. Quindi, che cosa abbiamo ora? Abbiamo una serie di corone circolari approssimate come rettangoli di cui sappiamo trovare l'area! E per scelte sempre più piccole di $dr$ (o per la suddivisione del cerchio in corone circolari sempre più piccole), la nostra approssimazione dell'area del cerchio diventa sempre più precisa.

Facciamo un ulteriore passo in avanti e raddrizziamo tutte le corone circolari in rettangoli. Allineiamole una accanto all'altra e le posizioniamo sul grafico della retta $2\pi r$. Vedrai che ogni rettangolo si estende fino al punto in cui tocca la retta.

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E per scelte sempre più piccole di $dr$, possiamo vedere che l'approssimazione dell'area totale del cerchio diventa sempre più accurata.

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Ora forse avrai notato che, man mano che si riduce $dr$, il numero di rettangoli diventa piuttosto grande. Quanto ci metteremo a sommare tutte le loro aree? Guarda di nuovo il grafico e noterai che le aree totali dei rettangoli assomigliano all'area sotto la linea, che è un triangolo!

Conosciamo la formula dell'area di un triangolo:

$$A=\frac{b\cdot h}{2}$$

che in questo caso sarebbe:

$$A=\frac{5\cdot (2\pi \cdot 5)}{2}$$

quindi, $A=\pi r^2$ che è la formula dell'area di un cerchio!

Ma come siamo arrivati a questo punto? Facciamo un passo indietro e pensiamoci. Avevamo un problema che poteva essere risolto approssimandolo con la somma di molti numeri più piccoli, ciascuno dei quali si presentava come $2\pi \cdot r\cdot dr$ per valori di $r$ compresi tra $0$ e $5$. E quel piccolo numero $dr$ era la nostra scelta dello spessore per ogni corona circolare. Ci sono due cose importanti da notare qui:

1. Non solo $dr$ gioca un ruolo nelle aree dei rettangoli che stiamo sommando, ma rappresenta anche la spaziatura tra i diversi valori di $r$.
2. Più piccola è la scelta di $dr$, migliore sarà l'approssimazione. In altre parole, più piccolo il valore di $dr$, più precisa sarà la risposta.

Si tratta di idee piuttosto interessanti, vero? Magari ti starai chiedendo perché fare tutto questo sforzo per una cosa così semplice come trovare l'area di un cerchio? Beh, riflettiamo un attimo. Abbiamo trovato l'area di una circonferenza come se si trattasse dell'area di un grafico: non potremmo applicare anche ad altri grafici più complessi? La risposta è: sì, possiamo! Prendiamo, ad esempio, il grafico di $y=x^2$, una parabola.

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Come possiamo trovare l'area di un grafico come questo, ad esempio tra i valori tra $0$ e $5$? Questo è un problema molto più difficile, non è vero? E riformuliamo leggermente il problema: fissiamo l'estremo sinistro a $x=0$ e lasciamo che l'estremo destro vari. Ora la domanda è: possiamo trovare una funzione, chiamiamola $A(x)$, che ci dia l'area compresa tra la parabola e l'asse delle $x$, nell'intervallo di estremi 0 (fisso) e $x$ (variabile)?

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Introduzione al calcolo degli integrali

Questo ci porta a uno degli argomenti portanti dell’analisi: gli integrali. Per usare il linguaggio dell’analisi, la funzione che abbiamo chiamato $A(x)$ è nota come integrale della funzione in questione. Nel nostro caso, $A(x)$ sarebbe l'integrale di $x^2$. O in notazione più matematica:

$$A(x)={\int }_0^x{t}^{2}dt$$

L'espressione ${\int }_0^x{t}^{2}dt$ si legge integrale definito della funzione f(t) in dt nell'intervallo di estremi $0$ e $x$.L'estremo sinistro, $0$, è detto l'estremo inferiore di integrazione, e $x$, estremo superiore. La funzione in t, in questo caso $t^2$ è la funzione integranda, e $t$ la variabile di integrazione.

In articoli più specifici di analisi su StudySmarter, potrai scoprire la definizione rigorosa di integrale definito, metodi per calcolarlo, e quindi anche gli strumenti che ti aiuteranno a trovare $A(x)$.

Vale la pena notare che per ogni $x$ fissato, che potremmo chiamare $x_0$, $A(x_0)$ è un'area, rappresentata quindi da un numero. Da qui possiamo anticipare che anche l'integrale definito è un numero. Ma se consideriamo che $x$ è variabile, l'integrale varierà al variare del suo estremo superiore, e varierà pure l'area $A(x)$, quindi stiamo parlando di funzioni.

Introduzione alle derivate

Quando aumentiamo di poco $x$, ad esempio di una quantità che chiameremo $dx$, vediamo una conseguente variazione dell'area sotto il grafico, che chiameremo $dA$.

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Questa piccola differenza di area, $dA$, può essere approssimata con il rettangolo indicato nella figura, così come nell'esempio del cerchio. Il rettangolo che approssima $dA$ ha un'altezza di $x^2$ e una larghezza di $dx$, quindi \(dA=x^2 \cdot dx\). Questa relazione può essere riorganizzata così:

$$x^2\approx \frac{dA}{dx}$$

E, naturalmente, per scelte sempre più piccole di $dx$, l'approssimazione dell'area sotto il grafico diventa sempre più precisa, proprio come nell'esempio del cerchio.

Qualsiasi funzione $A(x)$, definita come area sotto un grafico, gode della proprietà che $dA$ diviso $dx$ è approssimativamente uguale all'altezza del grafico in quel punto (o, potremmo anche dire, dell'ordinata dell'$x$ scelto). E questa approssimazione diventa più accurata per scelte più piccole di $dx$.

Questo ci porta al prossimo grande argomento dell'analisi: le derivate.

La relazione tra $dA$, $dx$, e la funzione del grafico, $f(x)$, scritta come $\frac{dA}{dx}=f(x)$, ci fornisce un'idea di cosa sia una derivata. Se si parla di derivata di $A$, ci si riferisce al rapporto $\frac{dA}{dx}$.

La derivata di una funzione nella variabile $x$ è ancora una funzione nella variabile $x$. La derivata in un punto, invece, sarà un valore numerico, dal momento che alla variabile $x$ sostituiremo un valore preciso.

Ci sono diverse notazioni per la derivata di $A$, tra cui: $A^{\prime }(x)$, $DA(x)$ e $\frac{dA(x)}{dx}$.

La derivata di $A$ analizza come e di quanto varia l'area rispetto a incrementi piccoli dell'estremo. L'idea è quella di prendere incrementi sempre più piccoli, o suddividere in intervalli sempre più piccoli, e studiare come varia la funzione da un punto all'altro. In termini più generali, le derivate sono il modo in cui misuriamo i tassi di variazione di una grandezza rispetto a un'altra, in particolare, il tasso di variazione istantaneo di una funzione in un punto.

Una proprietà di cui ci occuperemo in seguito, ma vale la pena menzionare, è che il tasso di variazione istantaneo della funzione in un punto è uguale alla pendenza della retta tangente al grafico in quel punto.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale

Le derivate e gli integrali sono strettamente legati l'uno all'altro. In generale, la derivata è una misura della sensibilità di una funzione a piccole variazioni della sua variabile, mentre l'integrale è una misura dell'area sotto un grafico.

La relazione tra integrali e derivate, in cui la derivata di una funzione per l'area sotto un grafico dà la funzione che definisce il grafico stesso, si chiama Teorema fondamentale dell’analisi.

Nei paragrafi precedenti abbiamo stabilito che $A(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ e che \( A'(x) = \frac{dA(x)}{dx}\). In questi termini, la relazione espressa dal teorema fondamentale del calcolo integrale si traduce con $A^{\prime }(x)=f(x)$, o in altre parole, la derivata dell'integrale di $f(t)dt$ è proprio $f(x)$.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale è diviso in due parti:

La prima parte mostra la relazione tra le derivate e gli integrali.

La seconda utilizza la relazione stabilita nella prima parte per mostrare come calcolare un integrale su un intervallo specifico.

L'enunciato della prima parte del teorema fondamentale del calcolo integrale è:

Se una funzione, che chiameremo $f(x)$, è continua su un intervallo $[a,b]$, e se definiamo un'altra funzione, che chiameremo $F(x)$, in questo modo:

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

Allora, $F^{\prime }(x)=f(x)$ nell'intervallo $[a,b]$.

La seconda parte del teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che:

Se una funzione, che chiameremo $f(x)$, è continua su un intervallo di $[a,b]$, e un'altra funzione, che chiameremo $F(x)$, è una qualsiasi primitiva di $f(x)$, cioè tale che $F^{\prime }(x)=f(x)$, allora:

$${\int }_a^{x}f(t)dt=F(b)-F(a)$$

L'idea di limite nell’analisi matematica

Per concludere questa introduzione all'analisi, diamo un'occhiata a ciò che distingue l'analisi da altri tipi di matematica: l'idea di limite. Nei paragrafi precedenti abbiamo parlato di scegliere valori sempre più piccoli di $dr$ o $dx$. Quando consideriamo questi valori sempre più piccoli, miglioriamo l'accuratezza delle nostre approssimazioni, facendo in modo che il valore di $dr$ o $dx$ si avvicini a zero. Perché non usare direttamente lo zero? Cerchiamo di capirlo.

La formula per la derivata di $A$ è il rapporto di $dA$ diviso $dx$, e dividere per zero è impossibile! È qui che entra in gioco il limite. Il limite ci permette essenzialmente di vedere quale dovrebbe essere la risposta a un problema (per esempio, l'area di un grafico) man mano che ci si avvicina al valore del limite. Nel caso dei nostri esempi nel paragrafo "Come ha avuto origine l'analisi?", il limite era zero.