Pendolo composto

Pendolo composto: equazione

Per lo studio dell'equazione del pendolo composto, dobbiamo partire dalla legge fondamentale della dinamica di rotazione:

\[M = I \alpha\]

dove ricordiamo che \(M\) è il momento della forza che agisce sul corpo, \(I\) è il suo momento di inerzia e \(\alpha\) è la sua accelerazione angolare. Abbiamo quindi bisogno di considerare il momento che la forza peso applica sul corpo. Ricordiamo che la formula per il momento di una forza è data da

\[\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}\]

dove \(\vec{F}\) è la forza di cui ci interessa calcolare il momento e \(\vec{r}\) il vettore che descrive la distanza di applicazione della forza. Nel nostro caso, vogliamo calcolare il momento della forza peso \(F_p = mg\) applicata a una distanza \(L\) dal punto di rotazione. Possiamo quindi sostituire nella formula del momento e dire che il modulo del momento vale

\[M = -F_p L\:sin\theta = -mgL\:sin\theta\]

Quindi, se lo inseriamo nellla nostra legge fondamentale della dinamica rotazionale, otteniamo

\[-mgL \:sin\theta=I\alpha\]

Ricordiamo che l'accelerazione è la derivata seconda della posizione (in questo caso angolare, attenzione), da cui

\[-mgL \:sin\theta=I\frac{d^2 \theta}{dt^2}\]

Quando un angolo è piccolo (indicativamente meno di \(10^\circ\)), si può fare un'approssimazione per angoli piccoli e si può sostituire alla funzione \(sin\theta\) l'angolo stesso.

Se eseguiamo questa appossimazione, otteniamo

\[-mgL\theta = I \frac{d^2\theta}{dt^2}\]

Facciamo un po' di ordine e riorganizziamo i termini a sinistra dell'uguale e dividiamo per \(I\):

\[\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{mgL}{I} \theta\]

Questa è l'equazione differenziale del pendolo composto!

Pendolo composto: legge oraria

Per ottenere la legge oraria, bisognerebbe risolvere l'equazione differenziale appena vista, ma possiamo evitarci i conti vedendo che quest'equazione è identica a quella dell'oscillatore armonico! L'unica differenza è la variabile che consideriamo, se nell'oscillatore armonico consideriamo la variabile lineare \(x\), nel pendolo composto, consideriamo la variabile angolare \(\theta\).

Vediamo le due equazioni vicine, per fare un confronto:

\[\begin{align} \frac{d^2x}{dt^2} &+ \omega^2 x = 0\\\frac{d^2 \theta}{dt^2} &+ \frac{mgL}{I}\theta = 0\end{align}\]

Se le guardiamo così vicine, possiamo vedere che

\[\frac{mgL}{I} = \omega^2\Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{mgL}{I}}\]

Se l'equazione differenziale ha la stessa forma, anche le soluzioni avranno la stessa forma, con l'unica differenza che al posto di \(x\) avremo \(\theta\). Non lo dimostriamo formalmente, ma si può vedere che la legge del moto orario per un pendolo composto è data da

\[\theta(t) = A \: cos(\omega t + \phi) = A\: cos\left(\sqrt{\frac{mgL}{I}} \:t +\phi\right)\]

Usando la formula per la pulsazione \(\omega\), possiamo anche ricavare il periodo di oscillazione:

\[T = \frac{2\pi}{\omega} =2\pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}\]

Pendolo composto: formule

Facciamo un piccolo riassunto in formato di tabella delle quantità che abbiamo visto per il pendolo composto.