Moto parabolico

Moto parabolico: componente orizzontale e verticale

Il moto parabolico è composto da una componente verticale e una orizzontale, indipendenti tra loro. In altre parole, il moto lungo la direzione verticale è indipendente da quello lungo la direzione orizzontale. Di conseguenza, quando si risolvono i quesiti associati al moto del proiettile, è possibile scrivere le equazioni del moto per la componente orizzontale e verticale separatamente.

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La distinzione tra il moto nelle direzioni x e y è importante perché ci mostra che possiamo applicare le equazioni del moto rettilineo uniforme e del moto uniformemente accelerato alle direzioni x e y, rispettivamente. Ma prima di svolgere alcuni esercizi (che serviranno a illustrare ulteriormente questo concetto), dobbiamo scrivere le equazioni che ci occorrono per studiare questo moto!

Moto parabolico: formule

Nel caso di un corpo lanciato lungo l'orizzontale (quindi, a un angolo $\theta =0°$ con l'orizzontale),

Quando lanciamo un oggetto in aria, dobbiamo considerare le seguenti equazioni (che scriveremo successivamente per ciascuna componente):

$$\overrightarrow{s}={\overrightarrow{s}}_0+{\overrightarrow{v}}_{0}t+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}{t}^2$$

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_0+\overrightarrow{a}t$$

dove $\overrightarrow{s}$ è lo spazio percorso, $\overrightarrow{v}$ la velocità, $\overrightarrow{a}$ l'accelerazione, $t$ il tempo, ${\overrightarrow{s}}_0$ è la posizione iniziale e ${\overrightarrow{v}}_0$ la velocità iniziale.

Scomponendo le due equazioni nelle due componenti orizzontale e verticale e tenendo presente che l'unica accelerazione presente è $\overrightarrow{g}$, diretta lungo la verticale (verso il basso), si ottengono le equazioni riportate di seguito.

Per il moto lungo x si ha:

$$x=x_0+v_{0x}t$$

$$v_x=v_{0x}$$

mentre per la componente del moto lungo y si ha:

$$y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2$$

$$v_y=v_{0y}-gt.$$

Notiamo subito che lungo x il moto è rettilineo uniforme. Infatti, poiché l'accelerazione di gravità è diretta lungo la verticale e sul corpo non agiscono altre forze, la velocità lungo x è costante ($v_x=v_{0x}=costante$). Il moto lungo y è invece uniformemente accelerato, con accelerazione pari a $g=9,81m{s}^{-2}$.

Moto parabolico: gittata e tempo di volo

Per trovare la formula per la gittata, dobbiamo porre $y=0$ nella legge oraria per il moto lungo y e risolvere il seguente sistema:

$$\{\begin{array}{l}x=v_{0x}t\\ 0=v_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$$

dove abbiamo assunto, per semplicità, $y_0=0$.

Dalla seconda equazione ricaviamo il tempo di volo, ovvero il tempo impiegato per percorrere l'intera traiettoria:

$$t(\frac{1}{2}gt-v_{0y})=0$$

che ha le seguenti soluzioni:

$$t_1=0;t_2=\frac{2v_{0y}}{g}$$

Scartando la soluzione $t=0$ (che corrisponde alla posizione iniziale), il tempo trascorso prima di toccare terra è dato da $t_2$. Inserendo questo valore nella prima equazione, otteniamo la gittata:

$$x_G=v_{0x}{t}_2=\frac{2v_{0x}{v}_{0y}}{g}$$

Moto parabolico: esercizi

Vediamo ora alcuni esercizi che ci permetteranno di applicare (e, quindi, di capire meglio) le formule che abbiamo scritto.

Una palla rotola giù da una scogliera alta $30m$ con una velocità di $5m{s}^{-1}$. La palla colpisce il suolo a una distanza $d$ dalla base di una scogliera. La Figura 3 mostra il moto del proiettile nel caso di un corpo lanciato in orizzontale. Calcola la distanza $d$.

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Fig. 3 - Moto parabolico nel caso di un oggetto lanciato orizzontalmente.

Per calcolare $d$, la distanza tra il punto in cui la palla atterra e la base della scogliera, dobbiamo analizzare il moto nelle direzioni x e y.

Supponendo che non ci sia resistenza dell'aria e che agisca solo la forza gravitazionale, la velocità nella direzione x sarà costante e pari a $5m{s}^{-1}$ fino a quando la palla non toccherà il suolo. Nella direzione y, la palla ha un'accelerazione costante di $9,81m{s}^{-2}$ , causata dalla forza di gravità.

Ma qual è la velocità iniziale nella direzione y?

Come già detto, poiché il moto nelle direzioni x e y è indipendente l'uno dall'altro, la velocità di $5m{s}^{-1}$ nella direzione x non ha alcun impatto sul movimento nella direzione y. Di conseguenza, la palla rotola giù dalla scogliera con una velocità iniziale nulla lungo la direzione verticale ($v_{0y}=0$).

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Fig. 4 - La componente della velocità nella direzione y aumenta a causa dell'accelerazione di gravità. La componente della velocità nella direzione x rimane costante.

Vediamo ora il moto nelle due direzioni.

Per la direzione x:

Velocità iniziale: $v_{0x}=5m{s}^{-1}$

Distanza percorsa nella direzione x: $d=$ ?

Per la direzione y:

Velocità iniziale: $v_{0y}=0m{s}^{-1}$

Posizione iniziale: $y_0=30m$

Accelerazione dovuta alla caduta libera: $a_y=-9,81m{s}^{-2}$

Dal moto nella direzione y, possiamo calcolare il tempo di caduta $t$. Utilizzando la legge oraria per la direzione y e inserendo i valori, si ottiene:

$$y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2$$

$$0=30m+0\cdot t-\frac{1}{2}(9,81m{s}^{-2})t^2$$

$$30m=\frac{1}{2}(9,81m{s}^{-2})t^2$$

$$t=\sqrt{\frac{2\cdot (30m)}{9,81m{s}^{-2}}}\approx 2,47s$$

Pertanto, il tempo impiegato dalla palla per raggiungere il suolo da un'altezza di $30m$ è di circa $2,47s$.

Per calcolare la distanza percorsa dalla base della scogliera $d$, usiamo di nuovo la legge oraria (ma questa volta per il movimento in direzione x) e al posto di $t$ inseriamo il tempo di caduta $t=2,47s$:

$$x=v_{0x}t$$

$$d=x=5m{s}^{-1}(2,47s)=12,35m$$

La distanza percorsa dalla palla nella direzione x è, quindi, di $12,35m$.

Finora abbiamo studiato il moto parabolico nel caso di oggetto lanciato in orizzontale. Nel caso di un proiettile lanciato a un dato angolo il principio è lo stesso, ma dobbiamo tener presente che l'angolo $\theta$ a cui il corpo è lanciato rispetto all'orizzontale influisce sulle velocità iniziali. Il seguente esempio mostra risolvere un esercizio nel caso di un corpo lanciato a un dato angolo rispetto all'orizzontale.

Osserva la figura seguente. Una palla di cannone viene lanciata da una scogliera con una velocità iniziale di $90m{s}^{-1}$ da un'altezza di $25m$ dal suolo con un angolo di $53°$. Calcola la distanza percorsa dalla palla di cannone nella direzione x.

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Fig. 5 - Moto parabolico nel caos di un oggetto lanciato con un certo angolo (qui, $53°$) rispetto all'orizzontale.

Come si può vedere in Figura 5, il terreno è sollevato di $9m$ dalla base della scogliera dove atterrerà la palla di cannone. Ciò significa che lo spostamento in direzione y non sarà di $25m$, ma di $16m$.

Scomponiamo innanzitutto il vettore velocità nelle sue componenti lungo x e lungo y.

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Fig.6 - Scomposizione della velocità nelle componenti orizzontale e verticale.

Velocità iniziale in direzione x: $v_{0x}=(90m{s}^{-1})cos(53°)$

Velocità iniziale in direzione y: $v_{0y}=(90m{s}^{-1})sin(53°)$

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Fig. 7 - Moto parabolico nel caos di un oggetto lanciato con un certo angolo (qui, $53°$) rispetto all'orizzontale. Il corpo atterra a $9m$ da terra.

Utilizzando la legge oraria per il moto lungo y e inserendo i dati possiamo calcolare il tempo $t$ impiegato dalla palla di cannone per colpire il suolo dopo il lancio.

$$y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2$$

$$9m-25m=(90m{s}^{-1}\sin (53°))t-\frac{1}{2}(9,81m{s}^{-2})t^2$$

Questa è una equazione di secondo grado nella variabile $t$, che possiamo riscrivere nella seguente forma più familiare:

$$a{t}^2+bt+c=0$$

dove $a=\frac{1}{2}(9,81m{s}^{-2})=4,905m{s}^{-2}$, $b=-90m{s}^{-1}\sin (53°)\approx -71,9m{s}^{-1}$ e $c=-16m$.

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$t_{1,2}=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{71,9\pm 74}{9,81}s$$

Escludendo la soluzione con il segno $-$ poiché darebbe un valore del tempo negativo, si ha

$$t=\frac{71,9+74}{9,81}s\approx 14,9s.$$

Poiché trascuriamo la resistenza dell'aria, la velocità nella direzione x sarà costante, cioè sarà di $(90\mathrm{m}/\mathrm{s})\cos (53°)$ per tutta la durata del movimento. Possiamo calcolare la distanza percorsa moltiplicando la velocità nella direzione x per il tempo impiegato. Si ha, quindi:

$$d=x=v_{0x}t$$

$$d=90m{s}^{-1}\cos (53°)(14,9s)\approx 807m$$

La distanza orizzontale percorsa dalla palla di cannone è di circa $807m$.

Fattori che influenzano il moto del proiettile

Nei due scenari precedenti abbiamo ipotizzato che la resistenza dell'aria fosse trascurabile. In pratica, però, non possiamo ignorare la resistenza dell'aria. Allo stesso modo, vari altri fattori influenzano il moto di un proiettile. Vediamo brevemente quelli principali.

La gravità

Anche se la gravità non influisce direttamente sul moto orizzontale, il tempo di caduta dell'oggetto diminuisce se la gravità è maggiore. L'oggetto rimarrà in aria per un tempo inferiore e la distanza percorsa in direzione x sarà quindi minore.

Resistenza dell'aria

La resistenza dell'aria è influenzata da diversi fattori. Ad esempio, è influenzata dal rapporto superficie/volume: un oggetto con una superficie maggiore è soggetto a una maggiore resistenza dell'aria. Un altro fattore è la superficie dell'oggetto: una superficie ruvida risente maggiormente della resistenza dell'aria. La resistenza dipende anche dalla velocità: se la velocità di un oggetto aumenta, aumenta anche la resistenza dell'aria.

La resistenza dell'aria influisce sempre sul proiettile, indipendentemente dall'angolo o dall'altezza da cui viene lanciato.

L'angolo di lancio

Trascurando la resistenza dell'aria, nel caso in cui i punti di lancio e di atterraggio si trovino alla stessa altezza, l'angolo ottimale per una gittata massima è di $45°$.

Se l'angolo di lancio è superiore o inferiore a $45°$ , l'oggetto coprirà una distanza minore sull'asse orizzontale. La Figura 8 illustra un oggetto lanciato a diverse angolazioni e la distanza percorsa.

Nel grafico la velocità di lancio è di $10m{s}^{-1}$ e si ipotizza che non vi sia resistenza dell'aria. $T$ è il tempo di volo, $t$ è il tempo dal lancio, $R$ è la distanza e $H$ è il punto più alto della traiettoria. La lunghezza rappresenta la velocità ad ogni istante del grafico.

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References

1. Fig. 2 - Compound Motion.gif (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Compound_Motion.gif) by OilerLagrangian is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en)
2. Fig. 8 - Ideal projectile motion for different angles.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ideal_projectile_motion_for_different_angles.svg) by Cmglee (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Cmglee) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)