Pressione idrostatica

Pressione idrostatica e legge di Stevino

La legge di Stevino, formulata dall'ingegnere, fisico e matematico Simon Stevin, permette di calcolare la pressione a ogni profondità di una colonna di fluido conoscendo la densità del liquido.

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Questo significa che la pressione aumenta con la profondità (aumenta cioè all'aumentare di $h$) e che si hanno delle superfici isobare (ovvero, a pressione costante) orizzontali.

Poiché la pressione aumenta linearmente con la profondità, può essere espressa dalla seguente relazione:

$$P=kh,$$

con $k=\rho g>0$. In un grafico pressione-profondità, questa relazione sarà rappresentata da una retta che passa per l'origine e ha un coefficiente angolare pari a $\rho g$.

Nel caso in cui vi siano due o più fluidi non mescolabili con densità differenti, la pressione idrostatica è data dalla somma delle pressioni causate dai diversi fluidi. Ad esempio, la pressione a una profondità $h$ di un recipiente pieno d'acqua a contatto con l'atmosfera è data dalla seguente somma:

$$P=\rho gh+P_0,$$

dove $P_0$ è la pressione esercitata dalla colonna d'aria sovrastante che coincide con la pressione atmosferica $P_{\mathrm{atm}}=101325\mathrm{Pa}$ a livello del mare.

In questo caso, la relazione tra pressione e profondità è rappresentata dalla seguente espressione:

$$P=kh+Q,$$

dove l'intercetta $Q$ coincide con $P_0$.

Si distinguono, quindi, due casi:

• Su un corpo immerso in un fluido contenuto in un recipiente chiuso a una profondità $h$ agisce una pressione pari a $P=\rho gh$.
• Su un corpo immerso in un fluido contenuto in un recipiente aperto a una profondità $h$ agisce una pressione pari a $P=\rho gh+P_0$. A livello del mare si ha $P_0=P_{\mathrm{atm}}$, mentre a quote superiori si ha $P_0<P_{\mathrm{atm}}$.

Pressione idrostatica: esercizi

Un oblò di un sottomarino che si trova a $20\mathrm{m}$ di profondità ha un diametro di $40\mathrm{cm}$. Assumendo che la densità dell'acqua sia di $1000\mathrm{kg}/m^2$, calcola la forza esercitata sull'oblò dall'esterno.

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Fig. 2 - Sottomarino sovietico TK-202 del Progetto 941 della classe "Akula".

Applicando la legge di Stevino, la pressione esercitata alla profondità di $20\mathrm{m}$ è pari a:

$$P=\rho gh+P_{\mathrm{atm}}=1000\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3\cdot 9,81\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\cdot 20\mathrm{m}+101325\mathrm{Pa}=297325\mathrm{Pa}.$$

Calcoliamo ora la superficie dell'oblò, assumendo che sia circolare:

$$A=\pi r^2=\pi (\frac{0,4m}{2}{)}^2=\mathrm{0,124}5{\mathrm{m}}^2.$$

Quindi, la forza esercitata dall'acqua sull'oblò sarà:

$$F=P\cdot A=297325\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{0,124}5{\mathrm{m}}^2\approx 3,7\times {10}^4\mathrm{N}.$$

Vediamo ora un esempio più comune.